Variácie a permutácie

15.11.2008 20:00

Variácie

 

Nech množina M obsahuje n prvkov, nech k je také prirodzené číslo, že 1 <= k <= n. Potom každú usporiadanú k-prvkovú skupinu, zostavenú z prvkov množiny M nazývame variáciou k-tej triedy  z n prvkov. Počet variácií k-tej triedy z n prvkov sa rovná

Vk(n) = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1).

Poznámky:

  1. O množine M budeme predpokladať, že obsahuje konečný počet n prvkov, n je prirodzené číslo.
  2. Skupina je usporiadaná, to znamená, že záleží na poradí prvkov v skupine. 

 

Napríklad: Vo futbalovej lige je 16 mužstiev.Koľkými spôsobmi sa môže na konci súťaže obsadiť 1., 2. a 3. miesto?

Riešenie: Množina M má 16 prvkov (počet mužstiev) a vieme, že záleží na poradí prvých troch mužstiev. Všetky usporiadané skupiny s tromi prvkami vytvárajú variácie 3. triedy zo 16 prvkov. Ich počet vypočítame podľa vzorca:

V3(16) = 16.15.14 = 3360 

Existuje 3360 rôznych spôsobov, ako sa na konci súťaže môže obsadiť 1., 2. a 3. miesto tabuľky.

Poznámky:

  1. Treba si uvedomiť, že (n - k + 1) v našom prípade je (16 - 3 + 1) = 14
  2. Vzorec obsahuje vždy toľko činiteľov, pre akú triedu variácií je napísaný. Prvý činiteľ sa rovná počtu n prvkov množiny M a každý ďalší je o jednotku menší ako predchádzajúci.

 

 

Permutácie

 

Nech množina M obsahuje n prvkov. Potom každú usporiadanú skupinu zostavenú zo všetkých prvkov množiny M nazývame permutáciou z n prvkov.

 

Poznámky:

  1. Permutácie z n prvkov sa rovnajú variáciám n-tej triedy z n prvkov, P(n) = Vn(n).
  2. Ak teraz použijeme vzorec   Vk(n) = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) a k = n, bude pravá strana obsahovať n činiteľov, z ktorých prvý je n a posledný bude n - k + 1 = n - n + 1 = 1

 Pre každé prirodzené číslo n sa počet permutácií z n prvkov sa rovná:

P(n) = n(n - 1)(n - 2)...2.1

 

Napríklad: Zo štartovacej čiary odštartovalo 6 bežcov. V koľkých rôznych poradiach môžu prebehnúť cieľovou čiarou, ak prípad dosiahnutia rovnakého času neberieme do úvahy?

Riešenie: Množina M obsahuje 6 prvkov, na poradí záleží, počet permutácií vypočítame podľa vzorca:

P(6) = 6.5.4.3.2.1 = 720

 

Existuje 720 rôznych poradí, v akých bežci môžu prebehnúť cieľovou čiarou. 

Späť