Binomická veta
Ukážem teraz použitie kombinačných čísel a Pascalovho trojuholníka pri riešení určitého typu algebrických úloh. V rozličných algebrických úlohách sa stretávame s úlohou umocniť dvojčlen a + b prirodzeným číslom, teda vypočítať (a + b)n. Poznáme vzorce:
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Koeficienty pri sčítancoch na pravých stranách týchto rovností majú hodnoty:
pre n = 1 sú koeficienty 1,1
pre n = 2 sú koeficienty 1,2,1
pre n = 3 sú koeficienty 1,3,3,1
Tieto koeficienty sú zhodné s číslami Pascalovho trojuholníka. Ďalej ak si všimneme, že exponent prvého sčítanca postupne klesá od hodnoty exponentu dvojčlena až po nulu a exponent druhého sčítanca zase postupne stúpa od nuly až po exponent dvojčlena, môžeme vysloviť nasledujúcu vetu:
Príklad: Vypočítajte (x + 2y)4
Riešenie: Príslušné čísla Pascalovho trojuholníka sú 1,4,6,4,1. Keď vo vzorci dosadíme a = x, b = 2y, dostaneme:
(x + 2y)4 = 1.x4.(2y)0 + 4.x3.(2y)1 +6.x2.(2y)2 + 4.x1.(2y)3 + 1.x0.(2y)4 = x4 +8x3y +24x2y2 +32xy3 + 16y4
Poznámka: pomocou tejto vety dokážeme vypočítať ľubovoľnú mocninu nielen ľubovoľného súčtu ale aj rozdielu bez pracnéhu umocňovania alebo vynásobovania zátvoriek.